対称性と機械学習

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書誌情報 #

対称本 書影

”世界は対称性にあふれている。入力に対する構造的な変換に対して不変であるのが対称性で、物理世界を扱う機械学習で効率的な学習を実現し、未知の状況にも対応できるようになるために欠かせない概念だ。本書は関係する数学を基礎から解説した上で、対称性が機械学習の文脈でどのように表されるのかを示し、利用する手法を紹介する。”（出版社紹介文より）

お知らせ #

  • 2025/8/27 サポートページを公開しました

誤植情報 #

（紙版中のページ番号です。版によって修正済みの場合があります。）

目次 #

  • 1 対称性とは

    • 1.1 対称性とは
    • 1.2 対称性と幾何
    • 1.3 対称性と物理法則
    • 1.4 関数と対称性
    • 1.5 機械学習における入力に対する不変性の例
    • コラム1.1 連続的に変化する入力に対する予測タスクに不変性が求められる
    • コラム1.2 完全ではないが対称性が一部成り立つ現実のデータを扱う
    • 1.6 同変性
    • 1.7 変換情報の保持と対称性
    • 1.8 無限の変換をどのように扱うのか
    • 1.9 群・表現
    • 1.10 作用と表現
    • 1.11 位相群とリー群
    • 1.12 機械学習とは
    • 1.13 帰納バイアス
    • 1.14 データオーグメンテーション
    • 1.15 もつれを解いた表現と対称性
    • 1.16 各章の構成
    • 第1章のまとめ

  • 2 群・表現論

    • 2.1 群の導入
    • 2.2 同型写像・準同型写像
    • 2.3 部分群
    • 2.4 剰余類
    • 2.5 正規部分群・商群
    • 2.6 作用
    • 2.7 作用の例
    • 2.8 群の表現
    • 2.9 リー群
      • 2.9.1 滑らかな群と線形代数
      • 2.9.2 指数写像
      • 2.9.3 リー群
      • コラム2.1 ロドリゲスの回転公式
    • 2.10 リー代数
      • 2.10.1 リー代数
      • 2.10.2 リー群とリー代数の関係
      • 2.10.3 曲線上の指数写像
      • 2.10.4 リー群の準同型写像
    • 第2章のまとめ

  • 3 対称性を備えた関数

    • 3.1 対称性を備えた関数
    • 3.2 ニューラルネットワークとは
    • 3.3 ニューラルネットワークへの対称性の導入
    • 3.4 G不変な仮説空間
    • 3.5 軌道・軌道集合
    • 3.6 軌道集合を用いた仮説空間
    • 3.7 商仮説空間
    • 3.8 等質空間
    • 3.9 安定部分群
    • 3.10 等質空間と商空間
    • 3.11 写像の持ち上げと射影
    • 3.12 畳み込みと群畳み込み
    • 3.13 群畳み込みは同変性を備える
    • 3.14 等質空間の同変性
    • 3.15 特徴マップ
    • 3.16 一般化群畳み込み演算
    • 3.17 一般化群畳み込みの問題点
    • 第3章のまとめ

  • 4 対称性を備えたニューラルネットワーク

    • 4.1 並進群の特徴マップ上での作用
    • 4.2 並進同変と畳み込みの同値性
    • 4.3 畳み込みニューラルネットワーク
      • 4.3.1 並進同変であるバイアス加算
      • 4.3.2 並進同変である要素ごとの非線形活性化関数
    • 4.4 アフィン群同変な畳み込みニューラルネットワーク
    • 4.5 アフィン群による作用
    • 4.6 アフィン群の表現
    • 4.7 積み重ねられた特徴マップ
    • 4.8 アフィン群同変ニューラルネットワーク
    • 4.9 アフィン群同変であるバイアス加算や非線形活性化関数
    • 4.10 G同変写像の求め方
    • 第4章のまとめ

  • 5 リー群に同変な関数の設計

    • 5.1 対称性をもつ関数の設計
    • 5.2 群の分解
    • 5.3 リー群の単位元成分の生成
    • 5.4 リー群の単位元成分による剰余類分解
    • 5.5 誘導された群作用
    • 5.6 リー代数の作用
    • 5.7 リー微分
    • 5.8 安定化群のリー代数の特徴づけ
    • 5.9 リー群に対し同変となる必要十分条件
    • 5.10 線形層での同変性導入
    • 5.11 実際の数値計算
    • 5.12 制約の構造を使った効率的な計算手法
    • 5.13 クリロフ法を使った核の効率的な推定方法
    • 5.14 特徴マップ間の同変な線形写像
    • 5.15 力学系における対称性と保存則
    • 5.16 対称性の促進
    • 5.17 対称性の促進：離散群の場合
    • 5.18 対称性の促進：連続群の場合
    • 第5章のまとめ

  • 6 クリフォード代数にもとづく対称性

    • 6.1 クリフォード代数
    • 6.2 幾何積
    • 6.3 グレード・ブレード・マルチベクトル
    • 6.4 グレード射影
    • 6.5 幾何積による内積とウェッジ積の統一
    • 6.6 マルチベクトルがもつ幾何的な意味
    • 6.7 マルチベクトルと幾何
    • 6.8 双対化演算
    • 6.9 Pin群，Spin群
    • 6.10 バーサーによる作用
    • 6.11 射影幾何代数
    • 6.12 代数幾何におけるユークリッド同変写像
    • 第6章のまとめ

  • Appendix

    • A 群・表現論の補足情報
      • A.1 準同型定理
      • A.2 群作用の全単射性
      • A.3 正則表現
      • A.4 正則表現の分解
      • A.5 交絡作用素
      • A.6 部分表現，既約表現
    • B 行列とベクトル操作について
Calendar August 27, 2025